Elektrotechnik (Teil 1/3)

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Elektrotechnik – Straub

Organisatorisches

Elektrotechnik – Straub

Gliederung des Kurses

  1. Einführung (Physikalische Größen, Einheiten)
  2. Das elektrische Feld (Ladungen, Kräfte, Felder, Potential, Spannung, Kapazität, Kondensatoren)
  3. Gleichstrom (Stromstärke, Widerstand, Stromkreisberechnungen, Energie, Leistung)
  4. Magnetismus (Feld in Vakuum und Materie, Kräfte, magnetischer Kreis)
  5. Elektromagnetische Induktion (Induktion, Selbstinduktion, Energie)
  6. Wechselstrom (Komplexe Wechselstromrechnung, Schaltungen, Leistung)
  7. Drehstrom (Dreiphasensystem)
  8. Schaltvorgänge an Kapazitäten und Induktivitäten
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Einführung

  1. Physikalische Größen
  2. Internationales Einheitensystem (SI)
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Physikalische Größen

... sind messbare Eigenschaften eines Systems.

Skalare Größen: werden durch einen Zahlenwert und eine Einheit beschrieben.

Beispiele:

  • (Zeit)
  • (Masse)
  • (Temperaturdifferenz)
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Rechnen mit Einheiten

  • Nur Größen mit gleichen Einheiten können addiert oder subtrahiert werden

  • Bei Multiplikation/Division von Größen werden die Einheiten multipliziert/dividiert

Hinweis: im Textsatz werden Einheiten immer aufrecht geschrieben, Variablen kursiv.

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Vektorielle physikalische Größen

... sind physikalische Größen, die durch einen Betrag und eine Richtung beschrieben werden. Der Betrag wird durch einen Zahlenwert und eine Einheit beschrieben.

Der Zahlenwert des Betrags ist immer positiv.

Beispiele:

  • (Geschwindigkeit)
  • (Beschleunigung)
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Das Internationale Einheitensystem (SI)

Basisgröße Größensymbol Dimensionssymbol Einheit Einheitenzeichen
Zeit Sekunde s
Länge Meter m
Masse Kilogramm kg
Elektrische Stromstärke Ampere A
Thermodynamische Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstärke Candela cd
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Naturkonstanten und SI-Einheiten

Konstante Beschreibung Exakter Wert Einheit
Strahlung des Caesium-Atoms 9 192 631 770 Hz
Lichtgeschwindigkeit 299 792 458 m/s
Planck-Konstante 6,62607015 × 10−34 J·s
Elementarladung 1,602176634 × 10−19 C
Boltzmann-Konstante 1,380649 × 10−23 J/K
Avogadro-Konstante 6,02214076 × 1023 mol⁻¹
Photometrisches Strahlungsäquivalent 683 lm/W
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Abgeleitete Einheiten

Von den Basisgrößen lassen sich durch mathematische Operationen abgeleitete Einheiten bilden.
Beispiele für abgeleitete Einheiten:

  • Kraft:
    (Newton)

  • Energie/Arbeit:
    (Joule)

  • Leistung:
    (Watt)

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Dimensionsanalyse

Jede physikalische Größe hat – unabängig von Einheit oder Zahlenwert – eine Dimension, die beschreibt, wie die Größe aus den Grundgrößen zusammengesetzt ist.

Beispiele:

  • Geschwindigkeit:
  • Kraft:
  • Winkel: (dimensionslos)

Beide Seiten einer Gleichung müssen dieselbe Dimension haben!

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SI-Präfixe (alltäglich)

Faktor Name Präfix Faktor Name Präfix
Dezi d Deka da
Zenti c Hekto h
Milli m Kilo k
Mikro µ Mega M
Nano n Giga G
Piko p Tera T
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SI-Präfixe (nicht alltäglich)

Faktor Name Präfix Faktor Name Präfix
Femto f Peta P
Atto a Exa E
Zepto z Zetta Z
Yokto y Yotta Y
Ronto r Ronna R
Quecto q Quetta Q
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µ & °C: praktische Tipps

  • Mikro: µ (griechischer Buchstabe "My")

    • Deutsches Tastaturlayout: AltGr + m

  • Grad Celsius: °C (Gradzeichen + Großbuchstabe C)

    • Deutsches Tastaturlayout: Shift + ^ + C

Nur in Systemen, die diese Schriftzeichen nicht unterstützen (ASCII) laut DIN 66030:2002-05:

  • µ -> u
  • °C -> Cel
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⚠️ Nicht-SI-Einheiten in der Luftfahrt ✈️

Immer noch weit verbreitet:

  • Flughöhe in Fuß 🦶
    • 1 ft = 0,3048 m
  • Entfernung in Seemeilen 🚢
    • 1 NM = 1852 m
  • Geschwindigkeit in Knoten 🪢
    • 1 kt = 1 NM/h = 1,852 km/h
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Mars Climate Orbiter

https://www.youtube.com/watch?v=MfavzjbZzl8

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Das elektrische Feld

  1. Elektrische Ladung
  2. Coulomb’sches Gesetz
  3. Elektrisches Feld im Vakuum
  4. Feldlinien und Gauß’sches Gesetz
  5. Elektrisches Feld in Materie
  6. Potential, Spannung, Arbeit
  7. Homogenes Feld und Kondensatoren
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Die vier fundamentalen Wechselwirkungen

  1. Gravitation 🪐
    • Hält das Sonnensystem zusammen – wirkt auf Masse
  2. Elektromagnetismus ⚡
    • Hält Atome und Moleküle zusammen – wirkt auf elektrische Ladung
  3. Starke Wechselwirkung 🎨
    • Hält Atomkerne zusammen
  4. Schwache Wechselwirkung ☢️
    • Verantwortlich für radioaktiven Zerfall
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Elektrische Ladung (electric charge)

  • Alle Materie besteht aus Elementarteilchen, von denen einige elektrische Ladungen tragen
  • Elektrische Ladungen treten in zwei Arten auf: positive und negative Ladungen (Vorzeichen: Konvention!)
  • Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an
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Aufbau der Materie

  • Atome bestehen aus positiv geladenen Protonen, neutralen Neutronen und negativ geladenen Elektronen
  • Protonen und Neutronen bilden den Atomkern
  • Elektronen bewegen sich in der Atomhülle um den Atomkern
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Elementarladung

  • Elektrische Ladungen sind immer ganzzahlige Vielfache der Elementarladung (Definition des Coulombs)
    • Elektron: (!)
    • Proton:
    • Up-Quark: , Down-Quark:
  • Man sagt, die Ladung sei quantisiert
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Coulumb’sches Gesetz – Experiment

https://www.youtube.com/watch?v=9mFlELwuctI

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Coulomb’sches Gesetz (Coulomb’s law)

  • Experimente haben gezeigt, dass die Kraft zwischen zwei Punktladungen und proportional zur Größe der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands ist
  • Mathematisch wird dies durch das Coulomb’sche Gesetz beschrieben:

ist abhängig vom Einheitensystem. Im SI-System gilt: , wobei die elektrische Feldkonstante ist, .

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Analogie zur Schwerkraft

Newtonsches Gravitationsgesetz: Kraft zwischen zwei Himmelskörpern

: Gravitationskonstante,

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Beispiel: Relative Stärke von Coulomb- und Gravitationskraft

  • Proton: ,
  • Elektron: ,
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Elektromagnetismus im Alltag

Fast alle alltäglichen physikalischen Phänomene werden von der elektromagnetischen Wechselwirkung bestimmt!

Die Gravitation spielt nur eine Rolle, da

  • es keine negativen Massen gibt -> immer anziehend
  • die elektrischen Ladungen von Elektronen und Protonen exakt aufheben
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Elektrische Feldstärke (electric field [strength])

  • Ein elektrisch geladenes Teilchen übt eine Kraft auf andere elektrisch geladene Teilchen aus
  • Diese Kraft ist umso größer, je größer die Ladung der Probeteilchen ist
  • Elektrische Feldstärke: Kraft pro Ladungseinheit, die auf eine Probeladung wirkt

Feld = ortsabhängige physikalische Größe (Vektorfeld/Skalarfeld)

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Elektrisches Feld einer Punktladung

Die elektrische Feldstärke im Abstand einer Punktladung ist:

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Feldlinien

  • Die Feldlinien eines elektrischen Feldes sind Linien, die die Richtung und Stärke des Feldes darstellen
  • Sie verlaufen von positiven zu negativen Ladungen und zeigen die Richtung der Kraft an, die auf eine positive Probeladung wirken würde
  • Die Dichte der Feldlinien ist proportional zur Stärke des elektrischen Feldes: Je dichter die Linien, desto stärker das Feld
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Superpositionsprinzip

Das elektrische Feld mehrerer (diskreter) Ladungen ist die Vektorsumme der Felder der einzelnen Ladungen

Übergang zu kontinuierlicher Ladungsverteilung: Integral

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Feldlinien: Beispiele

  • Punktladung
  • Zwei gegensätzliche Punktladungen (Dipol)
  • Zwei gleichnamige Punktladungen
  • Positiv geladene Ebene
  • Zwei entgegengesetzt geladene Platten (Plattenkondensator)
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Elektrische Flussdichte (electric flux density)

Fluss durch eine Fläche :

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Elektrische Flussdichte einer Punktladung

Die elektrische Flussdichte im Abstand einer Punktladung ist:

Für eine konstante Flussdichte auf der Fläche gilt:

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Fluss durch geschlossene Oberflächen

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Satz von Gauß (Gauss’s law)

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung:

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Beispiel: Kugelsymmetrische Ladungsverteilung

Für eine Punktladung im Zentrum einer Kugel mit Radius gilt:

Daraus folgt:

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Beispiel: Unendlich langer, gerader Leiter

Für einen unendlich langen Leiter mit Linienladungsdichte verwenden wir eine zylindrische Oberfläche (Radius , Länge ).

Symmetrie: ist radial und konstant auf der Mantelfläche

Ergebnis:

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Elektrisches Feld in Materie

  • In nicht oder schwach leitenden Materialien können elektrische Felder zu Polarisation führen.
  • Bei der Polarisation richten sich die positiven und negativen Ladungen innerhalb des Materials unter dem Einfluss des elektrischen Feldes neu aus.
  • Dies führt zu einer Verschiebung der Ladungszentren und erzeugt ein internes elektrisches Feld, das dem äußeren Feld entgegenwirkt.
  • Solche polarisierbaren Materialien nennt man Dielektrika.
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Abschwächung des elektrischen Feldes in Dielektrika

Definition:

mit Permittivitätszahl (auch relative Permittivität). Beispiele:

Material
Luft 1,00059
Gummi 2,5–3,5
Glas 5–7
Destilliertes Wasser 81
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Elektrische Flussdichte in Dielektrika

Konvention: man vereinbart, dass die elektrische Flussdichte sich immer auf das durch die freien Ladungen erzeugte Feld bezieht.

Polarisation

heißt daher auch (veraltet) Elektrische Verschiebungsdichte (electric displacement field).

Vorteil: der Satz von Gauß gilt unverändert, wenn man nur die freien Ladungen berücksichtigt:

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Elektrische Arbeit

Bewegung einer positiven Probeladung im Feld einer positiven Punktladung

: : Arbeit wird freigesetzt
: : Arbeit muss aufgebracht werden

Vgl. Mechanik:

Hier: ist abhängig von !

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Elektrische Arbeit und Potential

Integral:

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Elektrisches Potential einer Punktladung

Das elektrisches Potential im Abstand von einer Punktladung :

Einheit: (Volt)

Punkte gleichen Potentials bilden Äquipotentialflächen.

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Analogie: Gravitationspotential

Potentielle Energie bzgl. Referenzhöhe:

  • Höhenlinien sind Äquipotentiallinien
  • Die Kraft wirkt immer in Richtung des stärksten Gefälles (senkrecht zu den Äquipotentiallinien)
  • Die „Feldlinien“ sind nie in sich geschlossen
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Potentialfelder

Elektrostatische Felder sind Potentialfelder oder auch wirbelfreie Felder. Für sie gilt:

  • Feldlinien beginnen und enden auf Ladungen („Quellen“ oder „Senken“)
  • Feldlinien sind nie in sich geschlossen
  • Das Feld lässt sich als Gradient (Richtungsableitung) eines Skalarfeldes (Potential) darstellen

Weitere Beispiele für Potentialfelder:

  • Schwerkraft auf der Erdoberfläche (2D)
  • Schwerkraft zwischen Himmelskörpern (3D)
  • Wärmefluss in Festkörpern (1D, 2D, 3D)
  • Grundwasserstrom (3D) (nur solange die Strömung wirbelfrei ist!)
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Spannung & Arbeit

Elektrische Spannung (electric voltage)

Die elektrische Spannung ist definiert als Potentialdifferenz:

Einheit: (Volt)

Elektrische Arbeit (electric field work)

Die elektrische Arbeit ist das Produkt aus Ladung und Spannung:

Einheit: (Joule)

Die elektrische Arbeit ist unabhängig vom Weg!

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Beziehung zwischen elektrischem Feld und Spannung

Für die elektrische Spannung gilt allgemein:

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Homogenes elektrisches Feld

Ein homogenes elektrisches Feld ist durch konstante Feldstärke und parallele Feldlinien gekennzeichnet.

Wichtige Eigenschaften:

  • Konstante Feldstärke in Betrag und Richtung
  • Parallele Feldlinien
  • Äquipotentialflächen stehen senkrecht zu den Feldlinien
  • Die Spannung zwischen zwei Punkten ist , wobei der Abstand in Feldrichtung ist
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Homogenes Feld mit dem Satz von Gauß: linke Seite

Unendlich ausgedehnte, gleichmäßig geladene Ebene mit Flächenladungsdichte

Gesucht: Elektrische Feldstärke im Abstand von der Ebene

Ansatz: Anwendung des Satzes von Gauß mit einem zylindrischen Gauß'schen Volumen

Gauß'sche Fläche: Zylinder mit Grundfläche und Achse senkrecht zur geladenen Ebene

  • Mantelfläche:
  • Grundflächen:

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Homogenes Feld mit dem Satz von Gauß: rechte Seite

Eingeschlossene Ladung:

Satz von Gauß:

Ergebnis: Das Feld ist homogen und unabhängig vom Abstand zur Ebene.

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Kondensatoren (capacitors)

Kondensatoren sind elektrische Bauelemente, die elektrische Ladung speichern können.

Die gespeicherte Ladung für eine gegebene Spannung wird bezeichnet als:

Kapazität (capacitance)

Einheit: (Farad)

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⚠️ Kapazität ≠ Kapazität

Die Kapazität (capacity) einer Batterie ist eine Ladungsmenge!

z.B.:

Nicht zu verwechseln mit der Kapazität (capacitance) eines Kondensators in Farad!

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Plattenkondensator

Kapazität steigt mit:

  • Fläche der Platten
  • relativer Permittivität des Dielektrikums
  • Abnahme des Plattenabstands
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Kugelkondensator

Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen leitenden Kugelschalen mit den Radien (innen) und (außen).

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Kugelkondensator: Herleitung mit dem Satz von Gauß

Elektrisches Feld (Satz von Gauß):

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Kapazität des Kugelkondensators

Spannung zwischen den Kugeln:

Kapazität:

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Zylinderkondensator

Ein Zylinderkondensator besteht aus zwei koaxialen leitenden Zylindern mit den Radien (innen) und (außen) und der Länge .

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Zylinderkondensator: Herleitung mit dem Satz von Gauß

Gesucht: Elektrisches Feld zwischen den Zylindern

Ansatz: Satz von Gauß mit zylindrischer Gauß'scher Fläche (Radius , Länge )

Symmetrie: Das Feld zeigt radial nach außen, konstant auf Zylinderflächen

  • Mantelfläche:
  • Grundflächen:

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Zylinderkondensator: Elektrisches Feld

Aus dem Satz von Gauß:

Ergebnis: Das elektrische Feld nimmt mit ab.

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Zylinderkondensator: Spannung und Kapazität

Spannung zwischen den Zylindern:

Kapazität:

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Energie im Kondensator

Im elektrischen Feld eines Kondensators ist Energie gespeichert, die bei Entladung wiedergewonnen werden kann.

Während des Aufladevorgangs nimmt die Spannung mit der Ladung kontinuierlich zu:

Die beim Aufladen gespeicherte Energie berechnet sich zu:

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Parallelschaltung von Kondensatoren

Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten:

Eigenschaften:

  • Gleiche Spannung an allen Kondensatoren
  • Die Gesamtladung ist die Summe der Einzelladungen

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Reihenschaltung von Kondensatoren

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten:

Eigenschaften:

  • Gleiche Ladung auf allen Kondensatoren
  • Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen

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Kondensatoren mit inhomogenen Dielektrika 1

Wenn ein Plattenkondensator aus zwei Bereichen mit unterschiedlichen Dielektrika besteht, berechnet sich die Gesamtkapazität als:

Dies entspricht einer Parallelschaltung von zwei Teilkondensatoren.

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Kondensatoren mit inhomogenen Dielektrika 2

Wenn ein Plattenkondensator aus zwei hintereinander liegenden Schichten mit unterschiedlichen Dielektrika besteht, berechnet sich die Gesamtkapazität als:

Dies entspricht einer Reihenschaltung von zwei Teilkondensatoren.

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Übersicht: Größen im elektrischen Feld

Größe Definition Einheit
Elektrische Ladung (electric charge)
Spannung (voltage)
Kapazität (capacitance)
Elektrische Feldstärke (electric field [strength])
Elektrische Flussdichte (electric flux density) = [Di-]Elektrische Verschiebungsdichte (electric displacement field)
Elektrische Feldkonstante (electric constant) = Permittivität des Vakuums (vacuum permittivity)
[Absolute] Permittivität ([absolute] permittivity) = Dielektrizitätskonstante
Relative Permittivität (relative permittivity) = Relative Dielektrizitätskonstante dimensionslos
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Quiz: Das Elektrische Feld

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Warum spielt die Gravitation im atomaren Maßstab praktisch keine Rolle?

  • A) Weil Protonen und Elektronen keine Masse besitzen
  • B) Weil die elektromagnetischen Kräfte viel stärker sind als die Gravitationskräfte
  • C) Weil Gravitation nur zwischen Himmelskörpern wirkt
  • D) Weil sie durch Quantenmechanik verboten wird
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Warum sind Atome trotz geladener Bestandteile nach außen elektrisch neutral?

  • A) Weil sich Protonen und Neutronen ausgleichen
  • B) Weil sich die gleiche Anzahl an Protonen (positiv) und Elektronen (negativ) kompensiert
  • C) Weil Elektronen keine Ladung haben
  • D) Weil neutrale Teilchen überwiegen
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Was bedeutet, dass elektrische Ladung „quantisiert“ ist?

  • A) Ladung existiert nur bei Quarks
  • B) Ladung tritt nur in ganzzahligen Vielfachen einer kleinsten Einheit auf
  • C) Ladung kann beliebige Werte annehmen
  • D) Ladung hängt vom Beobachter ab
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Was passiert mit der Kraft zwischen zwei Punktladungen nach dem Coulomb-Gesetz, wenn der Abstand halbiert wird?

  • A) Sie halbiert sich
  • B) Sie vervierfacht sich
  • C) Sie verdoppelt sich
  • D) Sie bleibt gleich
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Was zeigt die Richtung einer elektrischen Feldlinie an?

  • A) Die Bewegung einer negativen Probeladung
  • B) Die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung
  • C) Die Richtung der Polarisation
  • D) Die Richtung minimaler Energie
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Wann ist der Einsatz des Gaußschen Gesetzes besonders sinnvoll?

  • A) Bei beliebigen Ladungsverteilungen
  • B) Bei jeder einzelnen Punktladung
  • C) Bei Systemen mit hoher Symmetrie (z. B. Kugel, Zylinder, Ebene)
  • D) Nur bei negativ geladenen Objekten
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Warum schwächt ein Dielektrikum das elektrische Feld?

  • A) Weil es freie Elektronen enthält
  • B) Weil es durch Polarisation ein Gegenfeld erzeugt
  • C) Weil es Ladung vollständig abschirmt
  • D) Weil es die Permittivität verringert
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Warum ist die elektrische Arbeit beim Bewegen einer Ladung im elektrostatischen Feld wegunabhängig?

  • A) Weil das Feld nur innerhalb von Leitern existiert
  • B) Weil Feldlinien immer geschlossen sind
  • C) Weil es sich um ein Potentialfeld handelt
  • D) Weil die Kraft immer konstant ist
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Was beschreibt das elektrische Potential physikalisch?

  • A) Die Anzahl der Feldlinien
  • B) Die potenzielle Energie pro Ladung
  • C) Die Feldstärke unabhängig vom Ort
  • D) Die Stärke der Polarisation
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Gleichstrom

  1. Stromstärke und Stromdichte
  2. Widerstand und Ohm’sches Gesetz
  3. Stromkreisberechnungen (Kirchhoff’sche Regeln)
  4. Zweipoltheorie
  5. Arbeit & Leistung
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Elektrischer Strom (electric current)

Strom ist der gerichtete Fluss von elektrischer Ladung

  • Stromdichte
    • : Geschwindigkeit positiver Ladungsträger
  • Stromstärke
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Stromrichtung & Ladungsträger

  • zeigt in die Richtung, in die sich positive Ladung bewegt – egal ob die tatsächlichen Ladungsträger positiv oder negativ sind!
  • Das ist auch die Zählrichtung der Stromstärke
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Stromleitung in Metallen

  • In Metallen gibt jedes Atom Elektronen ab, die sich frei im Gitter der positiv geladenen Atomrümpfe bewegen können („Elektronengas“)
  • Die Ladungsdichte der Elektronen ist jederzeit konstant, da eine Ansammlung ein elektrisches Feld erzeugen würde, dass durch Abstoßung der Elektronen wieder ausgeglichen wird -> der Leiter ist überall elektrisch neutral
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Metalle im elektrischen Feld

Klassisches Bild: erfährt das Elektronengas ein elektrisches Feld, werden die Elektronen beschleunigt, nach kurzer Zeit aber durch Stöße mit dem Metallgitter wieder abgebremst. Im Mittel ergibt sich dadurch eine konstante mittleren Geschwindigkeit , die Driftgeschwindigkeit. Sie geht entgegen der Feldrichtung , .

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Zahlenbeispiel: Driftgeschwindigkeit im Kupferdraht

Kupfer, , :

  • Dichte freier Elektronen:
  • Ladungsträgerdichte:
  • Stromdichte:
  • Driftgeschwindigkeit: 🐌
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Elektrische Leitfähigkeit von Metallen (electric conductivity)

  • Erfährt das Elektronengas ein elektrisches Feld, bewegen sich die Elektronen entgegen der Feldrichtung
  • Für ein gegebenes Material ist die Stromdichte umso höher, je höher das elektrische Feld ist
  • Der Proportionalitätsfaktor ist die elektrische Leitfähigkeit des Materials

= Ohm’sches Gesetz (Ohm’s law)

Achtung: die proportionale Beziehung gilt nur für lineare Leiter (z.B. Metalle bei konstanter Temperatur)

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Ohm’sches Gesetz im linearen Leiter

  • Stromdichte muss konstant sein
  • Elektrisches Feld muss konstant sein
  • Potential muss linear abfallen

  • Elektrischer Widerstand (electric resistance)
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Widerstand und Leitwert

Der elektrische Widerstand ist definiert durch das Ohm’sche Gesetz:

Einheit: (Ohm)

Der elektrische Leitwert ist der Kehrwert des Widerstands:

Einheit: (Siemens)

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Materialeigenschaften vs. Bauteilgrößen

Materialeigenschaften (intensiv, unabhängig von Geometrie):

  • Spezifischer Widerstand : Widerstand pro Längeneinheit bei Einheitsquerschnitt
  • Leitfähigkeit : Leitfähigkeit des Materials

Bauteilgrößen (extensiv, abhängig von Geometrie):

  • Widerstand : Widerstand eines konkreten Leiters
  • Leitwert : Leitwert eines konkreten Leiters

Beispiel: Kupfer hat immer die gleiche Leitfähigkeit , aber ein dickeres Kabel hat einen kleineren Widerstand .

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Übersicht der Größen im linearen Leiter

Größe Definition Einheit Name
Spannung (voltage) Volt
Stromstärke (current) Ampere
Widerstand (resistance) Ohm
Leitwert (conductance) Siemens
spezifischer Widerstand (resistivity) Ohm-Meter
Leitfähigkeit (conductivity) Siemens pro Meter
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Temperaturabhängigkeit des Widerstands

Bei den meisten Materialien ändert sich der Widerstand mit der Temperatur.

Kleinsignalverhalten (lineare Näherung):

Dabei ist:

  • der Temperaturkoeffizient des Widerstands (Einheit: )
  • die Bezugstemperatur (üblicherweise 20°C oder 0°C)
  • die aktuelle Temperatur
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Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Materialien

Bei Leitern nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur zu (positiver Temperaturkoeffizient α > 0).

Typische Werte für einige Leitermaterialien bei 20°C:

Leitermaterial Spez. Widerstand (µΩ·m) Leitfähigkeit (MS/m) Temperaturkoeffizient (1/K)
Silber 0,016 63 3,8 · 10−3
Kupfer 0,017 58 3,9 · 10−3
Aluminium 0,027 38 4,3 · 10−3
Messing 0,062 16 2,0 · 10−3

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Metalle als Temperatursensoren

Die Temperaturabhängigkeit des Widerstands macht Metalle zu präzisen Temperatursensoren.

Platin-Widerstandsthermometer (Pt100):

  • Pt100:
  • Temperaturkoeffizient:

Vorteile von Platin-Sensoren:

  • Hohe Langzeitstabilität
  • Breiter Messbereich (-200°C bis +850°C)
  • Gute Linearität
  • Chemische Beständigkeit
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Stromkreisberechnungen

  1. Die Kirchhoff’schen Gesetze
  2. Zweipoltheorie
  3. Arbeit und Leistung im Gleichstromkreis
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Knotenpunktregel (1. Kirchhoff’sches Gesetz)

In einem Knotenpunkt kann weder Ladung gespeichert noch erzeugt werden. Die Summe aller zufließenden Ströme ist gleich der Summe aller abfließenden Ströme:

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Mathematische Analogie

In einer stationären (zeitlich unveränderlichen) Stromverteilung ist die elektrische Ladung überall konstant. Der gesamte Strom durch jede geschlossene Oberfläche ist Null:

Vgl. Satz von Gauß in Abwesenheit von eingeschlossener Ladung:

(NB: die obige Gleichung folgt nicht aus der unteren – die mathematische Analogie gilt, da sowohl das elektrostatische Feld als auch die stationäre Stromdichte quellenfreie Vektorfelder sind.)

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Maschenregel (2. Kirchhoff’sches Gesetz)

Die Summe aller in einer Masche auftretenden Spannungen ist Null:

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Reihenschaltung von Widerständen

  • Gleicher Strom durch alle Widerstände:
  • Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen:
  • Gesamtwiderstand ist größer als der größte Einzelwiderstand
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Spannungsteiler

Bei einer Reihenschaltung teilt sich die Gesamtspannung im Verhältnis der Widerstände auf:

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Parallelschaltung von Widerständen

Bei einer Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Leitwerte zum Gesamtleitwert:

Oder mit Leitwerten:

  • Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme:
  • Gleiche Spannung an allen Widerständen:
  • Der Gesamtwiderstand ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand
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Parallelschaltung: Herleitung

Wegen der Knotenregel gilt:

Außerdem per Definition:

Es folgt:

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Stromteilerregel

Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Gesamtstrom im umgekehrten Verhältnis der Widerstände bzw. im direkten Verhältnis der Leitwerte auf:

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Zweipoltheorie

Ein Zweipol (two-pole) oder Eintor (one-port) ist ein elektrisches Bauteil mit zwei zugänglichen Anschlüssen

Gliederung

  1. Passive lineare Zweipole
  2. Aktive lineare Zweipole
    1. Ideale Spannungsquelle
    2. Ideale Stromquelle
    3. Reale Spannungsquelle
    4. Reale Stromquelle
    5. Äquivalenz von realer Spannungs- und Stromquelle
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Passive lineare Zweipole

  • Passiv: Zweipol gibt keine Energie ab
  • Linear: Strom-Spannungs-Kennlinie ist eine Gerade

Passive lineare Zweipole können zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden

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Ideale Spannungsquelle

Eine ideale Spannungsquelle liefert eine konstante Spannung unabhängig von der Belastung.

Eigenschaften:

  • Konstante Klemmenspannung
  • Innenwiderstand
  • Beliebiger Strom möglich
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Ideale Stromquelle

Eine ideale Stromquelle liefert einen konstanten Strom unabhängig von der Belastung.

Eigenschaften:

  • Konstanter Strom
  • Innenwiderstand
  • Beliebige Spannung möglich
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Reale Spannungsquelle

Eine reale Spannungsquelle kann als Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand dargestellt werden.

Eigenschaften:

  • Klemmenspannung nimmt mit zunehmendem Strom ab:
  • Bei Leerlauf: (maximale Spannung)
  • Bei Kurzschluss: (maximaler Strom)
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Reale Stromquelle

Eine reale Stromquelle kann als Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit einem Innenwiderstand dargestellt werden.

Eigenschaften:

  • Strom nimmt mit zunehmender Spannung ab:
  • Bei Leerlauf: (maximale Spannung)
  • Bei Kurzschluss: (maximaler Strom)
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Äquivalenz von realer Spannungs- und Stromquelle

Die reale Spannungsquelle und reale Stromquelle sind äquivalent, wenn folgende Beziehungen gelten:

Umrechnung:

  • Spannungsquelle → Stromquelle:
  • Stromquelle → Spannungsquelle:

Beide Darstellungen beschreiben dieselbe I-U-Kennlinie:

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Reihenschaltung von aktiven, linearen Zweipolen

Bei der Reihenschaltung von realen Spannungsquellen addieren sich die Leerlaufspannungen und die Innenwiderstände:

Anwendung: Batteriepacks in Taschenlampen, Elektroautos
Vorteil: Höhere Gesamtspannung
Nachteil: Höherer Innenwiderstand, bei Ausfall einer Quelle fällt das gesamte System aus

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Parallelschaltung von aktiven, linearen Zweipolen

Bei der Parallelschaltung von realen Spannungsquellen mit gleicher Leerlaufspannung addieren sich die Leitwerte der Innenwiderstände:

Die gemeinsame Leerlaufspannung bleibt .

Anwendung: Notstromversorgung, Batteriepacks für höhere Ströme
Vorteil: Geringerer Innenwiderstand, höhere verfügbare Ströme
Nachteil: Nur bei gleichen Spannungen sinnvoll, Ausgleichsströme bei unterschiedlichen Quellen

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Arbeit und Leistung in Gleichstromkreisen

  1. Elektrische Arbeit
  2. Elektrische Leistung
Elektrotechnik – Straub

Elektrische Arbeit (Energie)

Die elektrische Arbeit ist definiert als das Produkt aus Spannung, Strom und Zeit:

Einheit: (Joule)

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Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung ist definiert als elektrische Arbeit pro Zeiteinheit:

Einheit: (Watt)

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Leistungsanpassung

Die Leistungsanpassung beschäftigt sich mit der Frage, bei welchem Verbraucherwiderstand die maximale Leistung aus einer Quelle entnommen werden kann.

Für eine reale Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung und dem Innenwiderstand beträgt die Leistung am Verbraucher:

Diese Leistung wird maximal, wenn der Verbraucherwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle ist:

Die maximale Leistung beträgt dann:

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Anpassungsverhältnis und Wirkungsgrad

Das Anpassungsverhältnis ist definiert als:

Der Wirkungsgrad gibt das Verhältnis der am Verbraucher umgesetzten Leistung zur Gesamtleistung der Quelle an:

Bei optimaler Leistungsanpassung () beträgt der Wirkungsgrad nur (50%).

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Betriebszustände einer aktiven Quelle

Last Leistung Quelle Leistung Last Wirkungsgrad
Kurzschluß
Unteranpassung
Anpassung
Überanpassung
Leerlauf
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